广义逆矩阵定义众多，计算繁杂，初学者很难理解其本质。虽然一般的教材都会提供规范的定义、标准的运算性质证明以及计算方法介绍，但这些内容往往“代数味”太浓，容易让人陷入具体计算过程，而欠缺对概念内涵和联系的直观把握。本文将从线性算子的角度出发，利用线性算子和矩阵的内在对应关系，解释广义逆矩阵的几何直观意义。
撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
我们在系列文章第二篇《从反函数的观点看逆矩阵》中已经证明，对于一个行数不等于列数的“非正方形”矩阵，不存在另一个矩阵，使得它们的乘积和都是单位矩阵（当然两者阶数不一样）。在本文中，我们将行数与列数不相等的矩阵称为“非方矩阵”；若更细分之，行数大于列数的非方矩阵也按其形状称为“高矩阵”，而列数大于行数的非方矩阵则被说成是“矮矩阵”。
将矩阵等价地看成线性算子，上面用矩阵乘法表达的性质如用线性算子的语言，就是说任何非方矩阵不能同时是一对一（单射）的和映上（满射）的。因此，非方矩阵没有经典的反函数意义下的逆矩阵。然而，如果正整数 ，可以找到行列的矩阵和行列的矩阵
= 。然而，上面的例子说明，对于某些矮矩阵，存在高矩阵满足等式 = ，同样，对于某些高矩阵，存在矮矩阵使得 = 。这里的符号表示它是某阶的单位矩阵。
既然非方矩阵没有经典意义上的逆矩阵，难道就不能拓宽“逆”的含义，抓住它的核心要素，定义更广意义下的逆？逆矩阵的定义是可逆函数的反函数概念应用到矩阵这个特殊函数的结果，而反函数的定义是基于可逆函数: → 在定义域上是“一对一”和“映到上”这两个根本性质的。因此，要推广“逆”的含义，就必须放宽对于“一对一”和“映上”的苛刻要求。
必须注意，以上所述并非暗示方阵必定有逆矩阵。事实上我们之前的文章已证，方阵只要是个单射或满射，则分别同时也是满射或单射，因而逆矩阵存在并唯一。只有那些既非单射又非满射的方阵才与逆矩阵无缘。
这样，我们的问题是：对于非方矩阵或无逆可言的方阵，怎样定义“广义逆矩阵”？我们将再次采用几何的算子语言以完成任务。首先，我们引入本文所需的预备知识。
空间的直和分解
我们大致描述一下一般线性空间的概念，它是上述欧几里得空间的抽象化。任给一个非空集合，如果对其中的任两个元素和，它们的“和” + 作为中的一个元素有定义，此外任一实数和的“标量积”也定义为中的一个元素，并且这两种代数运算满足同欧几里得空间中向量加法、数乘向量运算一样的基本法则，如关于加法构成一个“群”，特别地，加法满足结合律和交换律、数乘满足分配律等，则称为一线性空间，其中的元素被叫做向量。除了几何直观性最强的欧几里得空间被认为是抽象线性空间的“杰出代表”和“具体模型”外，中学生最熟悉的一例线性空间是所有次数不高于某个固定非负整数的实系数多项式全体所组成的集合，其中的元素加法和数乘运算就自然地由多项式的加法和数乘多项式来定义。
定义广义逆矩阵
定义广义逆矩阵示意图
幂等矩阵和投影算子
其实，人们对投影并不陌生，一束平行的太阳光将正在阳光下走路的人投影到了路面上，形成了一个人影，这就是投影的一个司空见惯的例子。在中学或大学的力学课程中，我们知道两个不同方向的共点力的合力可以通过平行四边形法则几何地画出：以表示两力的有向线段为相邻边，作一个平行四边形，那么这两条邻边之间的那个对角线有向线段就代表了这两力的合力。反过来，我们可以将第一个力视为合力沿着第二个力的方向，
朝着第一个力所在的方向投影的结果。由直觉可知，一个向量如果投影到一个方向上，得到原向量的投影，再向同一方向投影一次，之前投影后的向量就保持不变了。这说明“连续投影两次无异于只投影一次”。
正交补空间和正交投影算子
可是，历史上广义逆矩阵并非一开始就这么“无限自由”，可以选取矩阵值空间、零空间的任意补空间来定义，而是选取了两个特殊的补空间，它们分别为给定矩阵的值空间和零空间的正
对于 3的欧几里得空间^，里面的向量非我人类目力所能及，然而在数学的天空我们依然把它们看得一清二楚，这完全得益于人的想象力。基于点积的分量乘积和公式，我们可以想象，当向量和的内积
时，这两个向量在高维空间中是“相互垂直”的，因而我们有理由在此情况下称和正交。
正交直和分解用在平面上，就可催生出笛卡尔平面直角坐标系。据说在1619年11月10日那晚，法国天才笛卡尔做了三个奇特的梦，其中第二个梦萌生出“点的坐标”这一数形结合的伟大思想，启发了解析几何的创立。美国数学史家贝尔在其着作《数学大师：从芝诺到庞加莱》中，甚至将这一天说成是“现代数学的公论的诞生日”。
英雄所见略同
利的匕首，刺向数学的苍穹。投出匕首的第一人是一百年前美国数学界的领袖之一、芝加哥大学数学家穆尔（Eliakim Hastings Moore，1862-1932）。1920年，他在《美国数学会公报》（Bulletin of the American Mathematical Society）第26卷第9期上发表了一篇仅有两页的短文《关于一般代数矩阵的倒数》（On the reciprocal of the general algebraic matrix）。他所称谓的“矩阵的倒数”就是上面由方程组(3)刻画出的广义逆矩阵。那时他已是一位58岁的老教授了，但依然还有创造力。穆尔当之无愧地成为矩阵广义逆之父，但是今日这种逆矩阵的正式名字却是“穆尔-彭罗斯广义逆”。
这其中的缘故何在呢？原来，穆尔所定义的广义逆矩阵有点超越时代，因为一百年前，电子计算机还停留在科幻小说里，一直到上世纪四十年代才变成现实。没有机器的大型科学计算能力，新的数学理论缺乏用武之地，所以穆尔的思想几乎被人遗忘。不过，他生前参与指导的最后一位博士生、中国人曾远荣接过了广义逆长跑第二棒，将师傅的有限维线性算子（矩阵）的广义求逆法推广到无穷维空间上的线性算子。曾远荣在博士论文中定义的算子广义逆被后人称为“曾逆”，在广义逆算子这个兼具理论和应用价值的算子理论子领域，他也因此成为奠基人之一。2017年5月，笔者之一（指丁玖——编者注）曾采访了来访扬州大学的美国数学家Zuhair Nashed（1936-）。他是70年代算子广义逆理论的世界权威之一、美国数学会的首批会士。他在访谈中充分肯定曾远荣的先驱性贡献。曾远荣在1933年获得芝加哥大学博士学位后回国，引进了泛函分析这一现代数学分支，培养了关肇直、田方增和徐利治等一批分析学家。他大概也预见到了他导师的广义逆矩阵及他自己的广义逆算子在计算数学这一新生事物中的巨大应用潜力，于1958年在他担任一级教授的南京大学创立了计算数学专业。
广义逆长跑的第三接棒人是瑞典大地测量学家比耶哈马尔（Arne Bjerhammar，1917- 2011），他于1951年发表了论文《矩阵计算在最小二乘法中的应用：着重关于大地测量计算》。然而直到四年后，英国一位才华横溢的年轻人独立发现广义逆矩阵，才真正激起了计算数学界对广义逆的热情。他所定义的逆与25年前美国前辈穆尔所创造的一模一样，只不过各自采用的矩阵方程组在形式上略有区别。2020年，罗杰·彭罗斯（Roger Penrose，1931-）这个名字开始被大众熟知，那年他获得了诺贝尔物理学奖，被媒体广为报道。而他在24岁时取得的这一项成就，也在数学之路上刻下了醒目的路标。正因为彭罗斯的非凡贡献，基于矩阵值空间和零空间正交补空间的广义逆矩阵，始终被统一命名为穆尔-彭罗斯广义逆。
彭罗斯发现的广义逆矩阵特征方程组具有形式
(4)中的后两个等式表明矩阵和均为实对称矩阵。
穆尔的特征方程组(3)和彭罗斯的特征方程组(4)为何等价呢？这基于一个事实。我们前面已知，一个矩阵是投影矩阵当且仅当它是幂等的，但无需是实对称的，即它的元素关于主对角线可以非对称分布。然而正交投影矩阵的充分必要条件为它不仅是幂等的，而且还是实对称的。我们着手证明这个事实。
现在我们就能快速证出(3)和(4)的等价性。先设求解了(3)，则其后两个等式表明和都是正交投影矩阵，根据上段所述，它们都是实对称矩阵。反过来设是(4)的解，则对其前两个等式的两边分别左乘和，便知和都是幂等矩阵，而后两个等式则说明它们也是实对称的，故由上一段中的等价说法，和是正交投影矩阵，故(3)中的后两个等式成立。这就充分说明英国人彭罗斯和相隔四分之一世纪的美国人穆尔“英雄所见略同”，因此将他们各自定义的广义逆矩阵起名为穆尔-彭罗斯广义逆是天经地义的。
广义逆矩阵总是存在的，但怎样算出它本质上却只有一个普适公式，这依赖于矩阵的“奇异值分解”，计算起来费时费力。不过对于“单射”的高矩阵和“满射”的矮矩阵，我们能给出一个相对简洁易算的“穆尔-彭罗斯广义逆表达式”。设一高矩阵，且它的所有列向量线性无关，这
由四个矩阵方程定义的穆尔-彭罗斯广义逆是最有名，也是最有用的广义逆矩阵。如果只考虑这个方程组中的部分方程，比如 = ，解就失去了唯一性，但研究这些解的性质和结构依然有趣有用。不过本文就此打住，不再赘言。最后我们请喜欢做习题的读者对文中那个所有元素都为1的二阶矩阵，算出它的穆尔-彭罗斯广义逆。在按照定义求出广义逆后，您也可以将给定的矩阵写成有一列的高矩阵和有一行的矮矩阵之积形式，问问自己能不能推演出一个对应的乘积矩阵穆尔-彭罗斯广义逆公式来。
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