牛顿因为疫情的原因，躲在乡下思考天地日月星辰，终于领悟了万有引力的原理。他把这个天地大道藏在心里，直到有一天，哈雷来看望他。
牛顿看见哈雷，就上了山，既已坐下，哈雷到他跟前来。他就开口教训他，说：
枝头的苹果落地了，因为地球是吸引它的。
扔出去的石子会落地，也是因为地球吸引它。
站在山上扔出去的石子，落地的位置更远，因为地球吸引它下落的距离变大了。
站在山上扔出去的石子，出手时的速度越快，落地的位置就越远，因为地球吸引它落地的这段时间里，石子飞跃的距离变大了。
只要石子出手的速度足够快，就不会落到地面上，因为地球是圆的，石子在地球的吸引下不停地下落，而地面也在不停地向下弯曲。所以，石子永远不会落到地面上，这就是人造卫星。
地球对石子的引力符合平方反比定律，球体的引力就像所有质量集中在地心一样。只要石子的速度不是特别快，它就会回到我这里，因为石子的运行轨道是椭圆。
月亮绕着地球转，地球绕着太阳转，都是这个原因。世间的万物相互之间都有引力作用，都符合平方反比定律。由此可以揭示宇宙的奥秘。
牛顿讲完了这些话，哈雷很稀奇他的教训。因为他教训他，正像有权威的真科，不像伪科学的网红。
以上这段牛顿的“登山宝训”，是谁写的？是我的科大师兄、曾任中国科学院半导体研究所研究员、现任浙江大学物理学院教授的姬扬老师。姬扬老师一向充满幽默感，十分热爱科普和翻译。他2022年在我的科普平台“风云之声”发了一篇文章《另类三体：如果月球轨道换个方向，就会撞上地球 | 姬扬》，开头就是这个牛顿的登山宝训。
咦，这个标题是什么意思？如果月球轨道换个方向，就会撞上地球？是的，这才是姬扬老师这篇文章的主旨。他从1987年在中国科学技术大学物理系读书以来，学了30多年物理，还教了好几年物理，但直到2021年读了一本书，才知道竟然还有这么一件事。这本书就是俄国着名数学家阿诺德的回忆录《昨日和往昔》（Vladimir I. Arnold, Yesterday and long ago, Translated by Leonora P. Kotova and Owen L. deLange, Springer, 2007）。
下面借用阿诺德的描述。苏联科学家利多夫（Michail L’vovich Lidov, 1926 - 1993）在1960年提出并回答了这样的问题：我们知道，太阳、地球和月球基本是在一个平面上，地球绕太阳公转的轨道平面（即黄道面）和月球绕地球公转的轨道平面（即白道面）的夹角只有大约5度，这是一个相当稳定的三体系统。然而，如果我们把月球竖起来，也就是说，让白道面和黄道面垂直，日地月这个三体系统还会这么稳定吗？
我们可以看图来仔细理解一下这个问题。地球绕太阳公转的轨道平面叫黄道面（即图中蓝色的大圆），月球绕地球公转的轨道平面叫白道面（即图中桔色的小圆），二者的夹角只有大约5度，也就是说，它们基本都位于屏幕所在的平面上。
利多夫的问题是：如果我们把桔色的这个小圆竖起来，让它跟屏幕垂直，三体系统还会稳定吗？
实际上，利多夫的问题比这个简单描述要普遍得多，被称为圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three Body Problem，简称CR3BP）。他用了很多数学技术（久期近似的双周期平均）以及当时刚出现不久的计算机，得到了相当普适的结果，后来被称为Kozai-Lidov 机制。Kozai是日本科学家古在由秀（Yoshihide Kozai，1928–2018），他当时在美国史密斯天文台工作，知道Lidov的工作，随后也发表了自己的工作。
这个问题如果用解微分方程的办法来处理是很困难的，列出适当的微分方程就不容易，而且最终也要求助于数值解法。但幸运的是，现在随便一个台式机都比当年的超级计算机强大得多，还有很多科学计算软件帮助我们做数值运算。下面我们用一个简单的模型以及Scilab给出的计算结果，来说明问题。
在日地月系统中，因为太阳质量 地球质量 月球质量，可以简单认为，太阳不受地球和月球的影响，地球不受月球的影响。所以只需要考虑月球绕地球的转动，包括地月引力的作用以及日月引力（扣除月球绕太阳公转所需的向心力部分以后）的残余影响。地球的公转决定了一个平面也就是黄道面，选择月球的初始速度（大小和方向），可以确定其初始的轨道面以及相对于黄道面的夹角。下面只考虑这个夹角为0度和90度的情况。选择月球的初始轨道为一个偏心率百分之几的椭圆，类似于真实世界的月球。
首先来看0度的情况：人生代代无穷已，江月年年只相似。月球轨道保持在黄道面内，是进动的椭圆，因为所有的力都在这个平面内，太阳的扰动引起了进动。左上图给出月地距离随时间的变化（右上图是局部的放大图），显然它的变化不大。这里的1指的是真实的地月距离38万公里，从图中可以看出，对它的偏差从来没有超过5%。相邻两个近地点的时间，就是一个月。200多个月的轨道叠在一起，看着就像一个圆（左下）。在50 - 60个月之间选了几个月的轨道，叠在一起仍然像一个圆（右下）。
再来看90度的情况：月亮撞地球，天地大劫难。左上图给出地月距离随时间的变化（右上图是局部的放大图），可以看到它的变化幅度非常大。在50多个月的时间里，就从正常距离变到这个值的1 - 2%左右，即3800公里至7600公里。请注意，地球半径是6400公里，月球半径是1700公里，两者加起来是8100公里，所以7600公里的地月距离意味着月球已经撞上了地球！
为什么计算在地月相撞之后还没停止呢？因为它用的是质点模型，即认为月球和地球都只是一个点。所以在距离达到极小之后，居然又回去了，最大接近正常值的两倍。但这都不现实了，在第一次相撞之后，地月系统就会毁灭。
所以结论是，把黄道面与白道面的夹角从0度变成90度，就会在5年内导致世界毁灭，我们有幸观测到比恐龙在6500万年前看到的更大的焰火。不过这只是数值计算的结果，更深入的问题是，为什么会有这样的结果呢？
我们可以画一个比例有点夸张的三体系统示意图来说明。
地球（黑点）绕着太阳（红点）的公转轨道是圆形的细黑线，月球绕地球公转的轨道是椭圆的粗黑线，太阳对月球的微扰力（即扣除了万有引力中让月球绕太阳公转的那部分贡献）的方向在地球公转轨道即细黑线以内是朝向太阳的，在细黑线以外是远离太阳的。这个微扰让月球轨道变形，并发生进动。
在0度的情况，月球轨道与地球轨道在同一个平面内，地球绕太阳的转动和月球轨道的进动使得这个椭圆的变形不会越来越大。太阳微扰导致的变形是随时间变化地揉搓这个椭圆，整体效果是让月球轨道大致保持初始的形状。
在90度的情况，月球轨道垂直于地球轨道，地球绕太阳的转动只能改变太阳微扰在月球轨道上的投影大小，但是方向不变。变形的效果就可以累加起来，让这个轨道越来越扁，最终撞到地球上。
当然，这个解释还很粗糙。比如说，没有考虑我们刚才的计算模型里地球坐标系是非惯性系（因为它绕着太阳转动）。这个三体系统还有很复杂的行为，但这就超出本文的范围了。
再让我们回到牛顿的登山宝训。如果地球是完美的球体，周围没有大气的阻碍，只考虑月球的影响，那么，牛顿在山顶高速扔出去的那个石子，真的会变成一颗人造卫星，永远绕着地球转动吗？
现在你明白思路了吧？现在的石子、月球、地球就好比刚才的月球、地球、太阳。
所以答案是：这取决于牛顿朝哪个方向扔石子！如果朝东西方向扔，它就会一直转下去。而如果朝南北方向扔，它就会在不长的时间内，撞到大地母亲的怀抱里！
最后，你也许想问，这个效应有多普遍？答案是相当普遍，这种圆形限制性三体问题（CR3BP）在许多场合都会出现。
牛顿没有提出这样的问题，是因为当时的天文观测只能看到很有限的星空。而利多夫提出这个问题，是因为苏联发射了人造卫星，精确确定卫星轨道随时间的变化是非常重要的科学问题，计算机的发展提供了解决这个问题的机会。这就是为什么，这个问题以及它的解答出现在仅仅60多年前，在苏联发射第一颗人造卫星“斯普特尼克”之后，在牛顿逃到乡下悟道300年之后。
